一本五十万字的中文书平均有多少信息量。我们知道常用的汉字（一级二级国标）大约有 7000 字。假如每个字等概率，那么我们大约需要 13 个比特（即 13 位二进制数）表示一个汉字。但汉字的使用是不平衡的。实际上，前 10% 的汉字占文本的 95% 以上。因此，即使不考虑上下文的相关性，而只考虑每个汉字的独立的概率，那么，每个汉字的信息熵大约也只有 8-9 个比特。如果我们再考虑上下文相关性，每个汉字的信息熵只有5比特左右。所以，一本五十万字的中文书，信息量大约是 250 万比特。如果用一个好的算法压缩一下，整本书可以存成一个 320KB 的文件。如果我们直接用两字节的国标编码存储这本书，大约需要 1MB 大小，是压缩文件的三倍。这两个数量的差距，在信息论中称作“冗余度”（redundancy)。 需要指出的是我们这里讲的 250 万比特是个平均数，同样长度的书，所含的信息量可以差很多。如果一本书重复的内容很多，它的信息量就小，冗余度就大。

我们来看看网络爬虫如何下载整个互联网。假定我们从一家门户网站的首页出发，先下载这个网页，然后通过分析这个网页，可以找到藏在它里面的所有超链接，也就等于知道了这家门户网站首页所直接连接的全部网页，诸如雅虎邮件、雅虎财经、雅虎新闻等等。我们接下来访问、下载并分析这家门户网站的邮件等网页，又能找到其他相连的网页。我们让计算机不停地做下去，就能下载整个的互联网。当然，我们也要记载哪个网页下载过了，以免重复。在网络爬虫中，我们使用一个称为“哈希表”(Hash Table)的列表而不是一个记事本纪录网页是否下载过的信息。

哈希函数是一个映象，即：将关键字的集合映射到某个地址集合上，它的设置很灵活，只要这个地址集合的大小不超出允许范围即可。一般的线性表、树中，记录在结构中的相对位置是随机的即和记录的关键字之间不存在确定的关系，在结构中查找记录时需进行一系列和关键字的比较。这一类查找方法建立在“比较”的基础上，查找的效率与比较次数密切相关。理想的情况是能直接找到需要的记录，因此必须在记录的存储位置和它的关键字之间建立一确定的对应关系f，使每个关键字和结构中一个唯一的存储位置相对应。因而查找时，只需根据这个对应关系f找到给定值K的像f(K)。若结构中存在关键字和K相等的记录，则必定在f(K)的存储位置上，由此不需要进行比较便可直接取得所查记录。在此，称这个对应关系f为哈希函数，按这个思想建立的表为哈希表（又称为杂凑法或散列法）。

我们知道，短语“原子能的应用”可以分成三个关键词：原子能、的、应用。根据我们的直觉，我们知道，包含这三个词多的网页应该比包含它们少的网页相关。当然，这个办法有一个明显的漏洞，就是长的网页比短的网页占便宜，因为长的网页总的来讲包含的关键词要多些。因此我们需要根据网页的长度，对关键词的次数进行归一化，也就是用关键词的次数除以网页的总字数。我们把这个商称为“关键词的频率”，或者“单文本词汇频率”（Term Frequency)，比如，在某个一共有一千词的网页中“原子能”、“的”和“应用”分别出现了 2 次、35 次 和 5 次，那么它们的词频就分别是 0.002、0.035 和 0.005。 我们将这三个数相加，其和 0.042 就是相应网页和查询“原子能的应用”相关性的一个简单的度量。

细心的读者可能还会发现另一个小的漏洞。在汉语中，“应用”是个很通用的词，而“原子能”是个很专业的词，后者在相关性排名中比前者重要。因此我们需要给汉语中的每一个词给一个权重，这个权重的设定必须满足下面两个条件：
1. 一个词预测主题能力越强，权重就越大，反之，权重就越小。我们在网页中看到“原子能”这个词，或多或少地能了解网页的主题。我们看到“应用”一次，对主题基本上还是一无所知。因此，“原子能“的权重就应该比应用大。
2. 应删除词的权重应该是零。比如：“的”

我们很容易发现，如果一个关键词只在很少的网页中出现，我们通过它就容易锁定搜索目标，它的权重也就应该大。反之如果一个词在大量网页中出现，我们看到它仍然不很清楚要找什么内容，因此它应该小。

ＴＦ／ＩＤＦ（term frequency/inverse document frequency) 的概念被公认为信息检索中最重要的发明。在搜索、文献分类和其他相关领域有广泛的应用。IDF 的概念就是一个特定条件下、关键词的概率分布的交叉熵（Kullback-Leibler Divergence)

那么我们如何量化的度量信息量呢？我们来看一个例子，马上要举行世界杯赛了。大家都很关心谁会是冠军。假如我错过了看世界杯，赛后我问一个知道比赛结果的观众“哪支球队是冠军”？ 他不愿意直接告诉我， 而要让我猜，并且我每猜一次，他要收一元钱才肯告诉我是否猜对了，那么我需要付给他多少钱才能知道谁是冠军呢? 我可以把球队编上号，从 1 到 32， 然后提问： “冠军的球队在 1-16 号中吗?” 假如他告诉我猜对了， 我会接着问： “冠军在 1-8 号中吗?” 假如他告诉我猜错了， 我自然知道冠军队在 9-16 中。 这样只需要五次， 我就能知道哪支球队是冠军。所以，谁是世界杯冠军这条消息的信息量只值五块钱。 有些读者此时可能会发现我们实际上可能不需要猜五次就能猜出谁是冠军，因为象巴西、德国、意大利这样的球队得冠军的可能性比日本、美国、韩国等队大的多。因此，我们第一次猜测时不需要把 32 个球队等分成两个组，而可以把少数几个最可能的球队分成一组，把其它队分成另一组。然后我们猜冠军球队是否在那几只热门队中。我们重复这样的过程，根据夺冠概率对剩下的候选球队分组，直到找到冠军队。这样，我们也许三次或四次就猜出结果。因此，当每个球队夺冠的可能性（概率）不等时，“谁世界杯冠军”的信息量的信息量比五比特少。

变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量也就越大。